Sengedorj Nanjid passed away (september 09th 2020)

SANDAGDORJ NANDJING and TRAN QUANG HAI
Sengedorj Nanjid par Johanni Curtet
Naissance1948, commune de Chandmani, province de Khovd. Ethnie Khalkh.
Parcours diphoniqueAutodidacte, par l’écoute et l’imitation des diphoneurs de son entourage, notamment le maître Sundui. Depuis la fin des années 1970, il joue dans le monde entier. Retraité depuis 2009, il a fait sa carrière au théâtre dramatique de la ville de Khovd.
Pratique musicaleTrois techniques de chant diphonique : kharkhiraa (khöömii profond, khamryn kharkhiraa (khöömii profond nasalisé), et shingen khöömii (khöömii clair), luth tovshuur, flûte tsuur.
ParticularitéLe «khöömii baryton» est le nom qu’il donne à son style personnel. Il enseigne le khöömii à un nombre restreint d’élèves, chez lui.
DiscographieAnthologie du khöömii mongol, (Routes Nomades & Buda Musique, à venir) Dörvön Berkh, Four Shagai Bones, Masters of Mongolian Overtone Singing (PAN 2100, 2010, Pan Records) Mongolie, Chants et Morin Khuur (C 560224, Ocora Radio France, 2009) Where Rivers and Mountain Sing. Sound, Music, and Nomadism in Tuva and Beyond, (2006, Bloomington, Indiana University Press) Tungalag Buyant (MOCN-0202, 2002, Japon) Mongol Nutgiin Calxi (MOCN-0102, 2001, Japon) The spirit of the steppes: Throat-singing from Tuva and beyond (Nascente NSCD 058, 2000, Londres) Jargalant Altai. Xoomii and other vocal and instrumental music from Mongolia (Pan 2050CD, 1996, Pan Records) Mongolie: Musique et chants de l’Altai (Orstom-Selaf Ceto 811, 1986, Paris)
RéférencesThéâtre de la Ville, Scène nationale d’Orléans, Musée du quai Branly, Amphi-Opéra Opéra de Lyon, Opéra de Lille, Festival Les Orientales, Festival Le Rêve de l’Aborigène, Semaine de la Mongolie en Flandres, Musée des Arts Asiatiques de Nice…

FREDERIC FAURE : Voix chantée, mathématiques et musique.

Voix chantée, mathématiques et musique.

(Perception auditive de l’arithmétique (?)).
11 septembre 2015
Frédéric Faure
Table des matières
1 Introduction
2 Voix chantée et audition. Séries de Fourier.
2.1 Origines
2.2 Émission de la voix
2.3 Propagation de la voix
2.4 Réception
2.5 Instruments de musique
3 Intervalles de musique, fractions rationnelles.
3.1 Expériences
3.2 Dans la culture musicale
3.3 Théorie musicale sur les intervalles
4 Plusieurs notes: accords et enchaînements harmoniques.
4.1 Enchaînement d’accords
4.2 Les tempéraments
4.3 La gamme pentatonique
5 Et le rythme?
6 Annexe
6.1 Le verger d’Euclide
Remarques
c’est un document “multimédia”,

Il y a des fichiers sonores, il faut cliquer sur l'icône “Son”. Il est préférable de cliquer avec le bouton droit et de choisir “ouvrir le lien dans une nouvelle fenêtre” que l'on fait de petite taille.
Il y a des fichiers vidéo, il faut cliquer sur l'icône “Video”. Il est préférable de cliquer avec le bouton droit et de choisir “ouvrir le lien dans une nouvelle fenêtre” que l'on fait de petite taille.
Il y a des liens vers des sites extérieurs, notamment vers wikipedia.

1 Introduction

C'est un thème de recherche qui date au moins depuis l'antiquité (Babylone, Pythagore, Euclide,...), avec encore de nombreuses questions.

Voici une présentation générale du sujet, liée à un travail de “recherche”. Il y a des interprétations (spéculations) personnelles, notée par (?). Collaboration avec Malik Mezzadri (artiste musicien “Magic Malik”) et Alexandre Ratchov (informaticien). Concerts avec Jean Luc Lehr (basse fretless) et Maxime Zampieri (batterie et touchpad).
image: 89_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_Malik.jpeg image: 90_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_02_27_Hexagone_fichiers_p5.jpg image: 91_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2013____le_experimenta_photos_selection_code_source.jpg

Références:
    Livre de Dave Benson, [1, p.197], “Music: a Mathematical Offering”,
    Livre de Schnupp [2] “ Auditory neuroscience: Making sense of sound “ and Auditoryneuroscience web site
    Article sur le “tempérament adaptatif”.

2 Voix chantée et audition. Séries de Fourier.
2.1 Origines
La voix est apparue entre – 2 millions d’années (sons), -50000 ans (parole) pour palabrer et pour l’échange d’informations (?).
image: 92_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_Arbre_a_Palabre.gif
2.2 Émission de la voix

Les cordes vocales qui génèrent une vibration (oscillateur entretenu par le souffle):
image: 93_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_cordes_vocales.png

Video des cordes vocales.
Ce son “riche en fréquences” est “sculpté” par la cavité buccale pour former le “timbre” (choix des voyelles).Video .
2.3 Propagation de la voix
image: 94_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_Onde_sonore.jpg

Par exemple pour des voyelles , chantées par Malik, Son.
    l'amplitude est ∼ 1 0 -6 Atm.

    la fréquence f=130 Hz (Do), vitesse du son: v=330m/s donc la longueur d'onde est λ =v/f=2,50m .

    Le signal (mesuré avec un micro) est (presque) périodique: “ON” et “A”:
    image: 95_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_signal_ON.png image: 96_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_signal_A.png

2.4 Réception
image: 97_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_oreille1.jpg
Video de la cochlée aux cellules ciliées par R Pujol, S Blatrix.

Dans la cochlée, il y a 13000 cils , (ici échelle = 15 μ m ):
image: 98_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015____lules-ciliees-a-la-base-de-la-cochlee_large.gif
qui transmettent une excitation au cerveau (puis traitée par des réseaux de neurones, mais c'est encore mystérieux)

Video sur la perception de la musique de Bach dans la cochlée.

Chaque cil est un résonateur sensible à une fréquence propre entre 20 Hz et 12000 Hz . Donc comme dans la théorie des séries de Fourier (1822), la voix (signal périodique ) est décomposée en “sons purs” (sinus ou “harmoniques”), et l'on détecte l'intensité de chaque harmonique (i.e. le module du coefficient de Fourier et non pas sa phase).
image: 99_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015____film_IF_videos_decomposition_series_Fourier.jpg

Ce spectre d’harmoniques coïncide à peu près avec les notes musicales (ce sera expliqué après):
image: 100_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_clavier_piano1.jpg
Même figure mais en “échelle log” ce qui correspond au clavier du piano:
image: 101_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_clavier_piano2.jpg
image: 102_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015___xpose_film_IF_videos_harmoniques_sur_portee.jpg

Voyelles chantées par Malik. Harmoniques et notes correspondantes. Video


On ne détecte pas la phase des harmoniques:
    si on déphase indépendament les composantes de Fourier alors la forme d'onde très différente mais la différence est inaudible: Son de la voix sans phases. (Son original).
    Voyelle “on”, voici les formes d'ondes d'origine WF(t) et déphasé WF'(t) et les modules coefficients de Fourier pour 0 ≤ i ≤ 32 (qui sont inchangés):

image: 103_home_faure_c++_musique_sound_rapport_WF_2s.png image: 104_home_faure_c++_musique_sound_rapport_WFp_2s.png image: 105_home_faure_c++_musique_sound_rapport_Harmoniques_2s.png
Voyelle “a”:
image: 106_home_faure_c++_musique_sound_rapport_WF_8s.png image: 107_home_faure_c++_musique_sound_rapport_WFp_8s.png image: 108_home_faure_c++_musique_sound_rapport_Harmoniques_8s.png

Voici un autre exemple de son artificiel, où chaque harmonique k=1,2 … ,30 a un module 1/k et une phase aléatoire. On représente aussi la forme d'onde WF(t) . Remarquer que lorsque les phase sont nulles, le signal WF(t) est en “dent de scie”. On le percoit légèrement. Video.
Cela signifie que “au départ” (avant traitement), le cerveau perçoit des notes pures quasi-indépendantes. A la “sortie”, on a conscience de la voyelle et de la hauteur de note (le pitch f ). Que se passe t-il dans le cerveau?


La perception des voyelles n'est pas dans les premières harmoniques:
    Video filtré avec les harmoniques 1,2,3: on n'entend plus les voyelles.

“Le mystère de la fondamentale manquante”:
    Video filtré avec les harmoniques 5,6,7,8..: on entend les voyelles. On perçoit et la fondamentale (le “pitch” ou la période)! Le cerveau reconstruit l'illusion de la note (fondamentale)!? C'est encore un mystère pour les neurologues (). Le cerveau calcule le “pcdg” des fréquences présentes? Utilité possible (?): reconnaître l'appel de son enfant qui est parmi d'autres enfants.

    Illusion auditive:
    image: 109_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015___xpose_film_IF_videos_AlternatingToneComplex.png
    Son.

Perception des fréquences
    Fréquences aléatoires: Voici un exemple artificiel, où les harmoniques k=1,2, … 30 sont d'amplitude A k =1/k , de phase nulle, et de fréquence f k =k ⋅ f 1 ⋅ ( 1+ ε k ) avec f 1 =130 Hz (do) et ε k ∈ [ - ε , ε ] aléatoire. On représente ( f k , A k ) sur ce diagramme pour différentes valeurs de ε qui mesure la fluctuation des fréquences. Video. Remarquer que l'on percoit parfois plusieurs notes (par exemple pour ε =0.084 ). Remarquer que les pics de fréquences f k , f k+1 peuvent se croiser si ε >1/k .

Amplification d'une harmonique (chant diphonique des mongols):
Si une harmonique est “trop” amplifiée alors elle ressort du timbre (de la perception collective) et on l'entend consciemment.
Ex: Harmoniques 6 à 12:
image: 110_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_mongol.jpg image: 111_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015___ose_film_IF_videos_chant_diphonique_spectre.gif
Son
    Video de Ana-Maria Hefele à 4mn.




Résumé:
    A la sortie des oreilles, et à l'entrée du cerveau, on a effectué (inconsciemment) une décomposition du son en “notes pures” (mode de Fourier). Ensuite le cerveau effectue un “traitement complexe” de cette information. [2, p.138] (dans le cerveau il y a un processus de reconnaissance de pattern arithmétique?)
    Au final on est conscient de l'ensemble du spectre: “le timbre” et son “pitch” (fondamentale), et non pas des fréquences individuelles.

Références

Cours de Christine Petit, Collège de France. Conférence.
Auditoryneuroscience web site
Logiciel STRAIGHT: "a speech analysis, modification and synthesis system"
Cellules cillées.
Chant diphonique

2.5 Instruments de musique
Ils permettent aussi de générer un signal sonore périodique (imitation de la voix chantée) par un mécanisme physique adéquate. Souvent une oscillation entretenue.

Pour les flûtes, ou sifflets, le biseau crée des tourbillons périodiques. Pour la trompette, les lèvres vibrent. Pour les saxos, l'anche vibre. Pour les violons, l'archer entretient l'oscillation des cordes; etc...

image: 112_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_son_tuyau_orgue.jpg

Video montrant le spectre d'harmoniques de plusieurs instruments jouant la même note C4.

image: 113_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_musicien_trompette.jpeg image: 114_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_musicien_violoniste.jpg image: 115_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_musicien_trombonne.jpeg image: 116_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_musicien_saxo.jpeg image: 117_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_musicien_flute.jpeg

Video (stroboscopique) des cordes d'une guitare (nicogetz youtube).
Video des modes de vibration d'une corde pincée ou frappée.

3 Intervalles de musique, fractions rationnelles.

Rappel: pour une note individuelle (voix ou instrument), on ne perçoit pas ses harmoniques individuelle, mais on perçoit le timbre qui est une impression collective, interprétée par le cerveau.

Question: que perçoit-on si deux notes (timbrées) de fréquences f 1 ≤ f 2 sonnent ensemble?

3.1 Expériences

Video qui montre une résonance à l'unisson f 2 f 1 = 1 1 .
Video qui montre une résonance à l'octave f 2 f 1 = 2 1 .
Video qui montre une résonance à la quinte f 2 f 1 = 3 2 .
Video qui montre les résonances f 2 f 1 = a b importantes.
Video qui montre les résonances f 2 f 1 = a b dans l'ordre descendant.
Video qui montre les résonances f 2 f 1 = a b avec le rajout de la “basse” f b = f 2 a = f 1 b . (la fondamentale manquante en rouge)
Video qui montre les résonances f 2 f 1 = a b avec la “basse” f b = f 2 a = f 1 b en rouge et le “sifflet” f s =a f 1 =b f 2 en vert.


Résumé: un intervalle juste est un ensemble de deux notes dont le rapport des fréquences est f 2 / f 1 =a/b avec a,b petits entiers. On ressent cet intervalle comme “résonant” ou “consonant”.

Schéma des rapports de fréquences résonants f 2 f 1 = a b ∈ Q , leur résonance R( a/b ):=- log ( a.b ) et comparaison avec la gamme tempérée ou tempérament égal, (traits bleus, utilisée pour les instruments occidentaux):

image: 118_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015___Expose_film_IF_videos_Octave_et_intervalles.png
Cela forme une fractale (de Farey ou Thomae).

3.2 Dans la culture musicale

Par ex. l'octave 2/1 , la quinte 3/2 , la quarte 4/3 , sont des intervalles universels dans les cultures humaines. La quarte 4/3 est le premier intervalle de la marseillaise. Son ou Son:
image: 119_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_marseillaise_intro.jpg

Dans la fractale, observer les “gaps” près des fractions simples: on y trouve des intervalles “dissonants”. Par exemple, la ganga en Dalmatie: chants populaires, avec intervalles de notes qui “frottent” (pour le plaisir), ref: carnet de voyage avec Anne-Florence Borneuf. Son
image: 120_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_carte_croatie.jpg image: 121_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_chanteurs_ganga.jpg


Organum est un genre musical à deux voix, du IXème au XIIème siècle en Europe, constitué d'octaves ( 2/1 ), quintes ( 3/2 ) et quartes ( 4/3 ) . Les tierces ( 6/5 ) et sixtes ( 5/3 ) peuvent être entendues à partir du XIème siècl. ref: Musica Enchiriadis. C'est l'origine du contrepoint.
Video de Organum duplum : Alleluia, hic Martinus (“organum fleuri”).

L' intervalle 7/5 qui est “isolé” dans la fractale, est revisité par les bee boppers (Charlie Parker, Dizzy Gillespie .., 1940'), par ex. dans l'introduction de “salt peanuts”, (intervalle quinte diminuée 7/5 , puis 14/5 ou 11/4 ?, puis l'octave 2/1 ) 1942.Son
image: 122_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015___lm_IF_videos_triton_dans_salt_peanuts_intro.jpg image: 123_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015___arker__Tommy_Potter__Miles_Davis__Max_Roach.jpg


Chants bulgares (musique traditionnelle actuelle). “Résonances a/b ” entre des voix très timbrées (cad riches en harmoniques) qui se concluent par des unissons. Rythme en 2+2+3=7. Video.





En musique indienne, on apprécie les résonances entre la tampura (riche en harmoniques) et la flûte.
image: 124_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_raga_indien.jpg

    On entend des relations entres les notes et pas seulement avec la basse fixe (tampura). (résonances en noir, proximité de hauteur en rouge). On discute de cela après.
    Qu'observez vous sur le ré (qui est peu joué)? réponse: c'est le seul dont le dénominateur de la fraction (ici 5/3 ) n'est pas une puissance de 2 . On verra plus loin que si le musicien joue le ré de façon trop insistante, il ressort une couleur “mineur” qui n'est peut être pas voulue ici. (?)
    Video 




Intervalle 11 et 13 dans les chants suisses, et cor des alpes. Son (avec la “11#” à 45'', et la “13 ♭ ” à 1'56''). Remarquer que les musiciens évitent soigneusement de jouer l'harmonique 7 et 14=2 × 7 .
image: 125_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_cor_des_alpes.jpg
image: 126_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_cor_des_alpes_gamme.jpg

3.3 “Théorie” musicale sur les intervalles

La théorie musicale de pythagore (à la suite des babyloniens) ne considérait que les intervalles a/b construits à partir 2,3 . Ex: 4 3 = 2.2 3 . Contre-exemple: 5 4 , 7 5 . D'après la figure suivante, cette théorie permet de décrire très peut d'intervaller résonants.
image: 127_home_faure_c++_musique_tonnetz_rapport_tonnetz_octave_0_primes_23.png



La théorie musicale de Zarlino (1558) ne considérait que les intervalles a/b construits à partir 2,3,5 . Ex: 4 3 = 2.2 3 ,   6 5 = 2.3 5 . Contre-exemple: 7 5 .
image: 128_home_faure_c++_musique_tonnetz_rapport_tonnetz_octave_0_primes_235.png



J.P. Rameau, “Traité de l'harmonie” (1722), qui est encore une référence, écrit p.xv que la musique repose sur les chiffres ( 2,3,5 ) seulement. Page 4 il exclut le nombre 7 car “ne pouvant donner aucun intervalle agréable, c'est évident aux connaisseurs”:
image: 129_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_rameau_p_xv.jpg image: 130_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_rameau_p_4.jpg



Pourtant, les nombres 7,11,13 ont une importance dominante dans les intervalles plus grands d'après la figure suivante pour les intervalles compris entre 1 et 2 octaves:
image: 131_home_faure_c++_musique_tonnetz_rapport_tonnetz_octave_1.png
et pour les intervalles compris entre 2 et 3 octaves:
image: 132_home_faure_c++_musique_tonnetz_rapport_tonnetz_octave_2.png



Ces rapports 11/2 ou 13/2 en “quarts de tons”, semblent être utilisés en musique arabe. (?)


Humour: sketch de Kammelott (Alexandre Astier). On entend l'unisson 1/1 , quarte 4/3 , quinte 3/2 , tierce mineure 6/5 , quinte diminuée 7/5 appelé “Diabolus In Musica” au moyen âge par Guido d'Arezzo 1050(?) (reference). Video.

4 Plusieurs notes: accords et enchaînements harmoniques.

Rappel: un intervalle juste est un ensemble de deux notes dont le rapport des fréquences est f 2 / f 1 =a/b avec a,b petits entiers. C'est un intervalle ressentit comme “consonant”.

Question: comment décrire un accord de 3 notes (ou plus) simultanées?


Première idée: pour généraliser la fractale de Farey/Thomae ci-dessus, pour N notes ( f 1 , x 2 f 1 , … , x N f 1 ) , on représente la densité de résonance:
R α ( x 2 , … , x N ):= ∑ N 1 , … N N ∈ N * 1 ( N 1 N 2 … N N ) α δ ( x 2 - N 2 N 1 ) … δ ( x N - N N N 1 ), α >1.
Cela donne la fractale suivante où chaque point brillant est un accord (plus ou moins) résonant:
image: 133_home_faure_c++_musique_tonnetz_rapport_tonnetz_fractale_2D_triades.png
Mais cela ne semble pas très utile...(?)


Idée naturelle de Euler (1739, il a 24 ans), dans “Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae”, représentation des intervalles sur le tonnetz (= “réseau des notes”):
image: 134_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_Leonhard_Euler_2.jpg image: 135_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015____IF_videos_Euler_Speculum_musicae_1774_p350.png

Une fraction a b se décompose de façon unique avec les nombres premiers p 1 =2, p 2 =3, p 3 =5, … sous la forme: a b = ∏ i p i n i .
ex: 3 2 = 2 -1 3 1 , 6 5 = 2 1 . 3 1 . 5 -1 , 5 4 = 2 -2 . 3 0 . 5 1
On représente les exposants:

image: 136_home_faure_c++_musique_tonnetz_rapport_tonnetz_reseau4.png
et si on oublie l’axe du 2 qui est l’octave, cela permet de représenter l’exposant du 7 :
image: 137_home_faure_c++_musique_tonnetz_rapport_tonnetz_reseau2.png

Un accord juste est un groupe de notes sur le tonnetz. Il est bien résonant si les notes sont regroupées sur le tonnetz (comme une molécule).


Pour les mathématiciens, remarquer que la fonction résonance de a b = ∏ i p i n i est simplement une “norme l1 à poids” sur le tonnetz (cela donne une distance de Manhatan sur le tonnetz):
R( a,b ):=- log ( a.b )=- ∑ j=0 ∞ | n j | log p j


Exemples:
image: 138_home_faure_c++_musique_tonnetz_rapport_tonnetz_triades.png image: 139_home_faure_c++_musique_tonnetz_rapport_tonnetz_triades_mineure.png
    la triade majeure C,E,G possède sa basse virtuelle qui est C. → sensation de stabilité. Video
    la triade mineure Em=E,G,B n'a pas sa basse virtuelle qui est C. → sensation de manque. Video

4.1 Enchaînement d’accords

“Résolution du triton 7 5 ” vers la tierce majeure 5 4 : il y a un mouvement d'un demi-ton de F → E (en tirets bleus) dont la fraction est 5 4 ⋅ 4 3 ⋅ 4 7 = 20 21 ≃ (1.050) -1 . Il y a aussi un mouvement d'un demi-ton B → C (en pointillés rouges) dont la fraction est 4 5 ⋅ 4 3 = 16 15 ≃ 1.066 . (On rappelle que le demi-ton chromatique est 2 1/12 ≃ 1.059 ). En musique ce dernier mouvement s'appelle “ résolution de la sensible”.
Video, et avec la basse virtuelle: Video.

image: 140_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_triton.jpg image: 86_home_faure_c++_musique_tonnetz_rapport_tonnetz_triton.png

(Cadences II-V-I Majeure: Video et mineure Video.)


Enchaînement d'accords basée sur trois “petits déplacements” 20 21 , 16 15 , 8 9 : Video, et avec la basse virtuelle: Video.
    Rem: vraie musique jouée par Miles Davis, Sam Jones, Hank Jones: Video.

4.2 Les tempéraments
(ref: Benson chap. 5).

Un tempérament est un “bon” choix de 12 notes par octave pour accorder un instrument. Il est naturel de choisir ces 12 notes parmi les notes du tonnetz (modulo l'octave). Mai sle tonnetz est infini, donc ce choix est arbitraire. Un choix “raisonable” de tempérament est un tempérament contenat des intervalles justes “importants” ou “utiles”.

Exemples:
    Johannes Kepler, “ Harmonies mundi” 1619. Video
    image: 141_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_temp_kepler.jpg

    J.J. Rousseau“Dictionnaire de la musique” 1768. Video
    image: 142_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_temp_rousseau.jpg

    Tempérament de cloches chinoises de 433 B.C. (ref: article de Cohn 1997, page 63, et Falkenhausen, “suspended music..” p.284 ) Video.
    image: 143_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_temp_35.jpg

    J.S. Bach, “Clavier bien tempéré”, 1722. (ref: Benson p.188)
    image: 144_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015___F_videos_benson_p188_clavier_bien_temp__r__.jpg

Dans un tempérament juste (non égal), les transpositions donnent des gammes différentes. Conseils de Christian Schubart en 1784:
image: 145_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_benson_p183_gammes.jpg

Avec Magic Malik en concert le 27/2/2015:
image: 146_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_p6.jpg image: 147_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_p2.jpg
    on a fait des morceaux utilisant le “tempérament des harmoniques” (cercles verts):
    Son à 43'', , Video concert, à 30''.
    Son: à 7'03'' et 11''10''.
    image: 148_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015___pose_film_IF_videos_temperament_harmoniques.jpg


    on a fait des morceaux utilisant le “tempéraments box” sur le réseau (3,5,7)Video
    image: 142_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_temp_rousseau.jpg
On définit le tempérament adaptatif: les 12 notes les plus proches des notes principales qui sonnent déjà. Exemple du morceau du concert Video du tonnetz avec basse et sifflet. Son, concert à 6'10'' et 8'10''.

4.3 La gamme pentatonique

Video de Bobby McFerrin sur l'universalité de la gamme pentatonique (colloque notes&neurons 2009)

Gamme pentatonique mineure en namibie, D,F,G,A,C, ref: carnet de voyage avec Emmanuelle Olivier. Son
image: 149_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_map_namibie2.gif image: 150_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015___rison_par_chaman_namibie_emmanuelle_olivier.png


Carnet voyages avec Pollo Vallejo, wagogo tanzanie, Rituel d'initiation. à 7'25”: gamme pentatonique sur G,A,B,D,F avec le F qui est en 7/8. Son
 image: 151_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_carte_tanzanie.gif image: 152_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_wagogo.jpg


Interprétation sur le tonnetz?
    Gamme pentatonique majeure sur le tonnetz: C,E,F,G,Bb Video
    Gamme pentatonique mineure sur le tonnetz: C,Eb,F,G,Bb Video.

Résumé:

Il pourrait être interessant d'utiliser le tonnetz pour mettre en valeur les relations entre les notes d'un morceau, ou pour interpréter les notes et les accords d'un morceau.
Comment analyser l'harmonie dans cette oeuvre de Olivier Messian 1930, “offrandes oubliées” Video à 5'47''?
 image: 153_home_faure_articles_14_Musique_tonnetz_2015_09_11_Expose_film_IF_videos_Messiaen.jpg

5 Et le rythme?
Il y a aussi incontestablement le rôle de l’arithmétique dans le rythme.

Musique Zimbabwe. Analyser la polyrythmie à 57mn. Faire ecouter des rapports de rythme en a/b puis sur le tonnetz.
Faire ecouter, sur hydrogen: découpages en 1,2,3,4,5,6,7 puis seulement 4,5,6 (idem triade majeure) puis 10,12,15 (idem triade mineure).
Rythmes 7/8 ou 11/8 de roumanie.
Take 5: 3+2.
Pour la blague: un rythme 3/2 accéléré donne une quinte.

6 Annexe
6.1 Le verger d’Euclide
Il est naturel de représenter un nombre rationnel positif a/b par un point ( a,b ) sur le réseau N × N . La valeur numérique a/b ∈ R correspond à la pente de la droite passant par ( a,b ) . Partant de l’origine, le premier couple1
( a,b ) que cette droite correspond à une fraction irréductible. Voir figure 6.1.
image: 154_home_faure_c++_musique_tonnetz_rapport_tonnetz_foret_a_10_10_toutes.png image: 155_home_faure_c++_musique_tonnetz_rapport_tonnetz_foret_a_100_100.png
Figure 6.1: (a) Le verger d’Euclide. En termes imagés, considérons un verger où tous les arbres sont plantés alignés sur un réseau infini. On repère chaque arbre par ses coordonnées ( a,b ) par rapport à un arbre (arbitraire) d’origine ( 0,0 ) . Supposons que l’on se place en ( 0,0 ) à la place de l’origine et que l’on observe les autres arbres autour de nous. On en voit une infinité, mais certains arbres (les gros points) en cachent d’autres (les petits points). Les gros points correspondent aux “fractions irréductibles” a/b et cachent les petits points qui correspondent aux “fractions réductibles”. Par exemple ( 1,1 ) cache ( 2,2 ) et ( 3,3 ) etc. De même ( 2,1 ) cache ( 4,2 ) et ( 3,2 ) cache ( 6,4 ) . Dans la littérature, cette forêt s’appelle le verger d’Euclide.
(b): même image à plus grande échelle.
image: 156_home_faure_c++_musique_tonnetz_rapport_tonnetz_foret_intervalles_fig.png
Figure 6.2: Les points noirs aux coordonnées ( a,b ) entières correspondent aux fractions a/b irréductibles. Les traits rouges sont les droites de pente 2 k avec k ∈ Z . Cela correspond aux intervalles d’octave. Les traits bleus sont les droites de pente 2 k/12 , correspondant au intervalles de 1/2 ton. On a associé un nom aux fractions les plus simples et situées dans la première octave: 1/1 (unisson) 2/1 octave, 3/2 quinte, 4/3 quarte, 5/3 sixte, 5/4 tierce majeure, etc

Observations:
    Dessin et explication du verger d'Euclide (orchard visibility problem). Dessin de la fractale des intervalles et comparaison avec la gamme tempérée Dessin des cercles d'appolonius (ou Farey-Stern Brocot). (Rem sur conjecture de Riemann?). On reviendra sur cette fractale avec le tempérament adaptatif.
    Le tempérament égal (division de l'octave en 12 parties égale sur l'echelle log) a plusieurs qualités:
        il approche bien la quarte 4 3 =1.3333 ∼ 2 5/12 =1.334.. et la quinte 3 2 =1.5 ∼ 2 7/12 =1.498.. .,
        et en modulant à la quarte ou à la quinte on revient (à peu près) au ton de départ après 12 modulations, car ( 7,12 )=1 , ou car 3 12 2 19 =1.013.. ∼ 1 .
        Le chiffre 12=2*2*3 a beaucoup de diviseurs -> nombreuses gammes symétriques (modes à transposition limité de O. Messian)?
    Ecoute et analyse du chant des peuls (ref et rajouter photos).
arabe.

Références
1Benson, DJ, “Music: a mathematical offering”, Free pdf version on http://homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/html/maths-music.html ().
2Schnupp, Jan and Nelken, Israel and King, Andrew, Auditory neuroscience: Making sense of sound (MIT Press, 2011).

https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faure/Modelisation_musicale/2015_09_11_Expose_film_IF/plan.xhtml